Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Cho biết AM = 1 cm, \CD = 2can3 cm Tính: a) Bán kính đường tròn (O). b) Số đo

a) Ta có đường kính AB là trục đối xứng của đường tròn (O)

Suy ra \(MC = MD = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \;({\rm{cm}}).\)

Tam giác ABC có CO là đường trung tuyến và \(CO = \frac{1}{2}AB,\) suy ra ABC là tam giác vuông tại C.

Do \[\widehat {CAM} + \widehat {CBM} = 90^\circ ;\,\,\widehat {CAM} + \widehat {ACM} = 90^\circ \] nên \[\widehat {CBM} = \widehat {ACM}.\]

Xét ∆CMB và ∆AMC có:

\[\widehat {AMC} = \widehat {CMB} = 90^\circ \] và \[\widehat {CBM} = \widehat {ACM}\]

Do đó ∆CMB ᔕ ∆AMC (g.g).

Suy ra \(\frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{MB}}{{MC}},\) nên \(MB = \frac{{M{C^2}}}{{MA}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{1} = 3\;({\rm{cm}}).\)

Gọi R là bán kính đường tròn đường kính AB, khi đó AB = 2R.

Ta có AB = MA + MB = 1 + 3 = 4 = 2R, suy ra R = 2 cm.

b) Xét tam giác AMC vuông tại M, ta có:

\(\tan \widehat {CAB} = \tan \widehat {CAM} = \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 ,\) suy ra \(\widehat {CAB} \approx 60^\circ .\)