Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn sao cho AC < BC (C khác A). Vẽ CH

a) Chứng minh \[\Delta ABC\] là tam giác vuông. Tính AC, biết AB = 4cm, AH = 1cm.

+ Xét đường tròn (O) có \[\widehat {ACB}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\[ \Rightarrow \]\[\widehat {ACB}\] = 900 hay \[\Delta ABC\] vuông tại C

+ \[\Delta ABC\] vuông tại C có CH là đường cao

\[ \Rightarrow \]\[A{C^2} = AH.AB = 1.4 = 4\] (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\[ \Rightarrow AC = 2cm\]

b) Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Vẽ DE vuông góc với AB (E\[ \in \]AB). Chứng minh BECD là tứ giác nội tiếp.

+ Xét tứ giác BECD có \[\widehat {DCB} = \widehat {DEB}\]

Mà chúng ở vị kề nhau cùng nhìn cạnh DB

Nên tứ giác BECD nội tiếp

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC, K là điểm đối xứng của I qua C, tiếp tuyến của (O) tại C cắt KA tại M. Chứng minh KA là tiếp tuyến của (O) và BM đi qua trung điểm của CH.

+ Tứ giác AKDI có CK = CI (K là điểm đối xứng của I qua C) và CA = CD

\[ \Rightarrow \] Tứ giác AKDI là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

\[ \Rightarrow \] AK \[\parallel \] DI mà DI \[ \bot \] AO tại E

\[ \Rightarrow \] AK \[ \bot \] AO tại A

Mà AO là bán kính của đường tròn (O) nên AK là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A.

+ Đường tròn (O) có MA, MC là 2 tiếp tuyến cắt nhau \[ \Rightarrow \] MA = MC (1)

\[ \Rightarrow \]\[\Delta MAC\] cân tại M \[ \Rightarrow \] \[\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\]

Mà \[\widehat {KCM} + \widehat {MCA} = {90^0}\] nên \[\widehat {KCM} + \widehat {MAC} = {90^0}\]

Mà \[\widehat {MKC} + \widehat {MAC} = {90^0}\] (\[\Delta AKC\] vuông tại C) nên \[\widehat {KCM} = \widehat {MKC}\]

\[ \Rightarrow \]\[\Delta KMC\] cân tại M \[ \Rightarrow \]MC = MK (2)

+ Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \] MA = MK hay BM đi qua trung điểm của CH

+ Gọi U là giao điểm của CH và MB

+ AK // CH (cùng \[ \bot \] AB)

+ MK // CU\[ \Rightarrow \frac{{CU}}{{MK}} = \frac{{BU}}{{BM}}\](Hệ quả định lý Talet) (3)

+ MA // UH \[ \Rightarrow \frac{{HU}}{{AM}} = \frac{{BU}}{{BM}}\](Hệ quả định lý Talet) (4)

+ Từ (3), (4) và MK = AM \[ \Rightarrow CU = HU\] hay U là trung điểm của CH

Vậy BM đi qua trung điểm của CH