Cho đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến xx' tại A và tiếp tuyến yy' tại B của (O). Một tiếp tuyến thứ ba của (O) tại điểm P (P khác A và B) cắt xx' tại M và cắt yy' tại N. a) Chứng minh

(H.5.40)

a) Ta có MN = MP + NP. Mặt khác, MA và MP là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên MA = MP. Tương tự, ta cũng có NB = NP.

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được:

MA + NB = MP + NP (điều phải chứng minh).

b) Do OQ ⊥ AB (giả thiết), MA ⊥ AB và MB ⊥ AB (MA, MB là tiếp tuyến của (O) tại A và B) nên OQ // MA // MB. Nối A với N cắt OQ tại C.

Trong tam giác ABN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của cạnh AB và song song với BN nên C là trung điểm của trung điểm của AN.

Trong tam giác AMN, đường thẳng OQ đi qua trung điểm của AN và song song với AM nên Q là trung điểm của MN.

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, OM là tia phân giác của góc \(\widehat {AOP}\) và ON là tia phân giác của góc \(\widehat {BOP}.\) Khi đó:

\(\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widehat {NOP} = \frac{1}{2}\widehat {AOP} + \frac{1}{2}\widehat {BOP}\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {BOP}} \right) = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ .\)

Do đó tam giác MON là tam giác vuông tại O với OQ là đường trung tuyến.

Từ đó ta có OQ = MQ = NQ.

Do đó, đường tròn đường kính MN, cũng là đường tròn tâm Q đi qua O. Do đó AB cắt nhau và vuông góc với QO tại O.

Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MN.

Nói cách khác, AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN.