Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N.

a) Xét (O) có PM // AB

⇒ 2 cung AP⏜ và BM⏜ bị chắn bởi 2 dây trên sẽ bằng nhau.

mà BM = BN (∆BMN cân tại B vì có BE vừa là đ/c, đường trung tuyến)

⇒ BM⏜=BN⏜

⇒ AP⏜=BN⏜

b) Xét (O) có OI đi qua điểm chính giữa của PM (giả thiết)

⇒ OI vuông góc với dây PM tại K

⇒ OKM^=90°

Xét tứ giác OKME có 3 góc vuông: OKM^=90° (cmt),

MEO^=90° ( MN vuông góc với OB tại E)

EMK^=90° (vì PM//AB, AB vuông góc với MN ⇒ PM vuông góc với MN tại M)

⇒ OKME là hình chữ nhật

c) Ta có: OPI ^=NOE^ (vì 2 góc đồng vị, MP//AB)

mà OPI ^+POI^=90° (∆POK vuông tại K)

⇒ NOE ^+POI^=90°

⇒ NOE ^+POI^+IOE^=90°+90°=180°

⇒ P, O, N thẳng hàng

- Xét ∆PMN có KE đường trung bình (K là trung điểm PM, E là trung điểm MN)

⇒ KE//PN.