Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là điểm chính giữa của một nửa đường tròn, C là điểm bất kì trên nửa đường tròn kia, CM cắt AB tại D. Vẽ dây AE vuông góc với CM tại F. a) Chứng minh rằng

a. 

a.   Ta có 

Suy ra  do các tam giác \(\Delta FAC\) và \(\Delta FEM\) vuông cân tại \(F,\) do đó \(AE = CM.\) Ta có \(\widehat {CAE} = \widehat {AEM}\left( { = 45^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow AC\)//\(ME\), dẫn tới từ giác \(ACEM\) là hình thang cân.

b.    Ta có \(CH\)//\(OM \Rightarrow \widehat {HCM} = \widehat {OMC}.\)

Mặt khác, \(\widehat {OCM} = \widehat {OMC}\)

suy ra \(\widehat {HCM} = \widehat {OCM} \Rightarrow \)Tia \(CO\) là tia phân giác của góc \(HCO\).

c.      

\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{MD}} = \frac{{CH}}{{MO}} = \frac{{DH}}{{DO}} \le 1 \Rightarrow CD \le MD\) hay \(CD \le \frac{1}{2}CM.\) Do đó \(CD \le \frac{1}{2}AE.\)