Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm C thuộc đường tròn (O), với C không trùng A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AC.

a) Vì DC = DA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại D) và OA = OC = R

Nên OD là trung trực AC nên OD ⊥ AC

Mà I là trung điểm AC nên I thuộc OD

Lại có: ACB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC ⊥ CB

Suy ra: OD // BC hay OI // BC

b) Xét tam giác OCD và OAD có:

OC = OA = R

OD chung

DA = DC

⇒ ∆OCD = ∆OAD (c.c.c)

⇒ DCO^=DAO^=90°

⇒ DA ⊥ AB và A trên (O) nên DA là tiếp tuyến của (O).

c) OCB^=OBC^

OC // BK (cùng vuông góc với CD)

Nên OCB^=CBK^

Suy ra: OBC^=CBK^

Xét tam giác CHB và CKB có:

H^=K^=90°

Cạnh BC chung

HBC^=OBC^=CBK^

Vậy ∆CHB = ∆CKB (g.c.g)

Suy ra: CK = CH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông có: CH² = HA.HB

Mà CH = CK nên CK² = HA.HB.