Cho đường tròn (O) đường kính AB, E thuộc đoạn AO (E khác A

a) Vì \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)

b) Xét (O) có:

OH là một phần đường kính

CD là dây

OH ⊥ CD tại H

Do đó: H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ECAD có 

H là trung điểm của đường chéo CD

H là trung điểm của đường chéo EA

Do đó: ECAD là hình bình hành

Mà EA ⊥ CD

Nên ECAD là hình thoi

c) ACED là hình thoi nên DE //AC

Mà AC ⊥ BC nên DE ⊥ BC

Suy ra: DI ⊥ BC

⇒ \(\widehat {EIB} = 90^\circ ;\widehat {CID} = 90^\circ \)

Xét tam giác CID vuông tại I có IH là trung tuyến

⇒ IH \( = \frac{1}{2}CD = DH\)

⇒ ∆DHI cân tại H ⇒ \(\widehat {HID} = \widehat {EBI}\)

Gọi M là trung điểm BE

Suy ra: IM là trung tuyến của ∆IBE vuông tại I.

⇒ IM = \(\frac{1}{2}BE = BM\)

⇒ ∆MBI cân tại M

⇒ \(\widehat {MBI} = \widehat {MIB} = \widehat {EBI} = \widehat {HID}\)

Ta có: \(90^\circ = \widehat {EIB} = \widehat {B{\mathop{\rm I}\nolimits} M} + \widehat {E{\mathop{\rm I}\nolimits} M} = \widehat {HID} + \widehat {EIM} = \widehat {H{\mathop{\rm I}\nolimits} M}\)

Suy ra: HI ⊥ IM tại I.

Vì IM = EM = BM = \(\frac{1}{2}BE\)và HI ⊥ IM nên HI là tiếp tuyến của \(\left( {M;\frac{{EB}}{2}} \right)\).