Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với

1) Ta có: AB là đường kính của (O) nên AD ⊥ BM, AE ⊥ EB

Mà AB ⊥ MN

Nên BD.BM = BA² = BE. BN

⇒ \(\frac{{BD}}{{BN}} = \frac{{BE}}{{BM}}\)

Mà \(\widehat {DBE} = \widehat {MBN}\)

⇒ ∆BDE ∽ ∆BNM (c.g.c.)

⇒ \(\widehat {BDE} = \widehat {BNM}\)

⇒ MNED nội tiếp

2) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ΔBMN, (BMN) ∩ AB = P

⇒ ΔBEI ∽ ΔBPN(g.g)

⇒ \(\frac{{BE}}{{BP}} = \frac{{BI}}{{BN}}\)

⇒ BI.BP = BE.BN = BA²

⇒ BP = \(\frac{{B{A^2}}}{{BI}}\)⇒ P cố định

Mà \(\widehat {PAN} = \widehat {MAB},\widehat {APN} = \widehat {BPN} = \widehat {BMN} = \widehat {BMA}\)

⇒ ΔABM ∽ ΔANP(g.g)

⇒ \(\frac{{AM}}{{AP}} = \frac{{AB}}{{AN}}\)

⇒ AM.AN = AB. AP không đổi

3.Vẽ đường tròn ngoại tiếp DMNE, (DMNE) ∩ AB = C, F (như hình vẽ)

Chứng minh tương tự câu 2 có AF.AC = AM.AN ⇒ AF.AC = AP.AB

Lại có BCF, BDM là cát tuyến tại B với (DMNE)

⇒ BC.BF = BD.BM = BA²

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}BC.BF = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB - AC} \right)\left( {AB + AF} \right) = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + AB\left( {AF - AC} \right) - AF.AC = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AF.AC\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AP.AB\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF - AC = AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)

⇒\(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\A{C^2} + AC.AP - AP.AB = 0\end{array} \right.\)⇒ C cố định

⇒ C, F cố định

⇒ Tâm (DENM) thuộc trung trực của CF cố định.