Cho đường tròn ( O ) đường kính AB bằng 2R . Gọi D là trung điểm của OB , vẽ đường thẳng a qua D và vuông góc với AB

a) Ta có tam giác \(BDH\) vuông tại \(D\). Suy ra 3 điểm \(B,D,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\).                                                            (1)

Ta có tam giác \(BFH\) vuông tại \(F\). Suy ra 3 điểm \(B,F,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(BH\).                                                            (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác \(BDHF\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BH\).

b) Từ \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AEB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \\\widehat A{\rm{ chung}}\end{array} \right.\) suy ra \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACD\) đồng dạng.

Do đó \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\). Tức là \(AE \cdot AC = AB \cdot AD = 2R \cdot \frac{{3R}}{2} = 3{R^2}\).

c) Ta tính được \(IO = 6\)cm, \(OD = 5\)cm.

Ta có \(EI{\rm{ // }}ND\), suy ra \(\frac{{DN}}{{EI}} = \frac{{DM}}{{MI}}\). Ta tính được \(DN = \frac{{8\left( {x + 11} \right)}}{x}\).

Vì tam giác \(DMN\) vuông tại \(D\) nên diện tích là

\(S = \frac{1}{2}DM \cdot DN = 4\frac{{{{\left( {x + 11} \right)}^2}}}{x} = 4\left( {\frac{{121}}{x} + x + 22} \right)\) (cm2)

Ta lại có \({\left( {\frac{{121}}{x} + x} \right)^2} = {\left( {\frac{{121}}{x} - x} \right)^2} + 4 \cdot \frac{{121}}{x} \cdot x \ge 484\) với mọi \(x > 0\).

Suy ra \(\frac{{121}}{x} + x \ge 22\). Dấu bằng xảy ra khi \(x = 11\).

Vậy \(x = 11\) thì diện tích của tam giác \(DMN\) nhỏ nhất.