Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Qua điểm M thuộc đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại

Lời giải

a) Xét (O) có DM, DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra DA = DM

Xét (O) có EM, EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E

Suy ra EB = EM

Ta có DE = DM + ME = DA + EB

Vậy DE=AD+BE.

b) Xét (O) có DM, DA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra OD là tia phân giác của góc AOM

Do đó \(\widehat {AO{\rm{D}}} = \widehat {MO{\rm{D}}} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có EM, EB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại E

Suy ra OE là tia phân giác của góc BOM

Do đó \(\widehat {BOE} = \widehat {EO{\rm{D}}} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)

Hay \(\widehat {DOM} + \widehat {EOM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DOE} = 90^\circ \)

Suy ra tam giác DOE vuông tại O

Vậy tam giác DOE vuông tại O.

c) Ta có AD ⊥ AB, EB ⊥ AB

suy ra AD // EB

Xét tam giác AHD có AD // EB

Nên \(\frac{{DH}}{{HB}} = \frac{{DA}}{{BE}}\)

Mà DA = DM, EB = EM

Suy ra \(\frac{{DH}}{{HB}} = \frac{{DM}}{{ME}}\)

Do đó MH // BE

Lại có EB ⊥ AB

Suy ra MH ⊥ AB

Vậy MH ⊥ AB.