Cho đường tròn (O) có dây cung AB cố định. Kẻ đường kính IK vuông góc với AB tại N (I thuộc cung lớn AB). Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB

a) Ta có: \[\widehat {IMK} = 90^\circ \] hay \[\widehat {IMD} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó, \[\widehat {IMD} = \widehat {IND} = 90^\circ \].

Suy ra \[INDM\] là tứ giác nội tiếp.

b) Xét \[\Delta NIC\] và \[\Delta NDK\] có:

\[\widehat {INC} = \widehat {DNK} = 90^\circ \] (gt)

\[\widehat {NIC} = \widehat {NDK}\] (cùng phụ với \[\widehat {NKM}\])

Suy ra (g.g)

Suy ra \[\frac{{NI}}{{ND}} = \frac{{NC}}{{NK}}\] hay \[ND.NC = NI.NK\].

c) Gọi \[E\] là giao điểm của đường thẳng \[ID\] và \[CK\].

Xét tam giác \[\Delta KIC\], có \[CN \bot IK\] tại \[N\]; \[KM \bot IC\] tại \[M\].

Mà \[CN,KM\] giao nhau tại \[D\].

Suy ra \[D\] là trực tâm tam giác \[\Delta KIC\].

Suy ra \[CK \bot IE\] tại \[E\] hay \[\widehat {IEK} = 90^\circ \].

Mà \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O.\]

Suy ra \[E \in \left( O \right)\].

d) Có \[AB \bot IK\] với \[IK\] là đường kính đường tròn tâm \[O\] suy ra \[IK\] là đường trung trực của \[AB\]. Do đó .

Xét \[\Delta ADM\] và \[\Delta BDK\] có: \[\widehat {ADM} = \widehat {BDK}\] (đối đỉnh) và \[\widehat {DAM} = \widehat {DBK}\] (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra (g.g).

Suy ra \[DM.DK = DA.DB\].

Mà, ta có: \[DA.DB \le \frac{{{{\left( {DA + DB} \right)}^2}}}{4} = \frac{{A{B^2}}}{4}\].

Mà dây cung \[AB\] cố định suy ra \[DM.DK\] đạt giá trị lớn nhất bằng \[\frac{{A{B^2}}}{4}\] khi \[DA = DB\] hay \[D\] trùng \[N\]. Suy ra \[M\] trùng \[I.\]