Cho đường tròn (O). Các dây AB và CD bằng nhau, các tia BA và DC cắt nhau tại điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MA = MC.

Ta có \(AB = CD\) (gt) \( \Rightarrow OH = OK\) (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm)

Xét tam giác vuông \[MHO\] theo định lí Pythagore: \(M{H^2} = M{O^2} - O{H^2}\)

Tương tự với \(\Delta MKO\), ta có \(M{K^2}{\rm{  = }}M{O^2} - O{K^2}{\rm{ }}\)mà \(OH = OK \Rightarrow MH = MK{\rm{ }}\) (1)

Lại có \(OH \bot AB\) (gt) \( \Rightarrow HA = HB = \frac{{AB}}{2}\)

Tương tự \(KC = KD = \frac{{CD}}{2}\) mà \(AB = CD\)\( \Rightarrow HA = CK\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MH - HA = MK - CK\)

hay \(MA = MC\).

Nhận xét: Trường hợp hai dây \(AB,CD\) không bằng nhau, chằng hạn \(AB > CD\) ta có bài toán sau: