Cho đường thẳng (d): y = 2mx + 2m - 3 và parabol (P): y = x^2

a) Thay \[x = 1,y = 5\] vào \[\left( d \right)\], ta được: \[5 = 2m + 2m - 3\] hay \[4m = 8\] suy ra \[m = 2\].

Vậy \[m = 2\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] đi qua \[A\left( {1;5} \right)\].

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm, ta có:

\[{x^2} = 2mx + 2m - 3\] hay \[{x^2} - 2mx - 2m + 3 = 0\] (1)

Để đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với parabol \[\left( P \right)\] thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

Ta có: \[\Delta ' = {\left( { - m} \right)^2} + 2m - 3 = {m^2} + 2m - 3\].

Để phương trình có nghiệm kép thì \[\Delta ' = 0\] hay \[{m^2} + 2m - 3 = 0\].

Suy ra \[\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\].

Do đó, \[m = 1\] hoặc \[m = - 3\].

Vậy \[m = 1\] hoặc \[m = - 3\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] tiếp xúc với parabol \[\left( P \right)\].