Cho đường thẳng d có phương trình y = (m – 1)x + 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.

Lời giải

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với các trục Oy, Ox.

Với x = 0, ta có: y = 2. Suy ra tọa độ A(0; 2).

Với y = 0, ta có: \(x = - \frac{2}{{m - 1}}\). Suy ra tọa độ \(B\left( { - \frac{2}{{m - 1}};0} \right)\).

Kẻ OH vuông góc với AB.

Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là lớn nhất.

⇔ OH lớn nhất.

⇔ OH² lớn nhất.

Ta có OA = 2, \[OB = \left| { - \frac{2}{{m - 1}}} \right|\].

Tam giác OAB vuông tại O có OH là đường cao:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{4} + \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}}{4}\).

Suy ra \(O{H^2} = \frac{4}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}}\).

Ta có: (m – 1)² + 1 ≥ 1, ∀m.

\( \Rightarrow O{H^2} = \frac{4}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1}} \le 4,\,\,\forall m\).

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 1.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.