Cho đoạn thẳng AB có trung điểm O. Vẽ về một phía của AB các tía Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 90^0. Chứng minh AB2 = 4AC . BD

Lời giải

Vì tam giác OAC vuông tại A nên \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Ta có \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} + \widehat {CO{\rm{D}}} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {CO{\rm{D}}} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ \)

Lại có \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{O_1}} = 90^\circ \) 9 (chứng minh trên)

Suy ra \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét △AOC và △BDO có

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {OAC} = \widehat {OB{\rm{D}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Suy ra  (g.g)

Do đó \(\frac{{AO}}{{B{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{BO}}\)

Lại có \(AO = BO = \frac{1}{2}AB\)

Vậy AB² = 4AC . BD