Cho đoạn AB = 20 . Tồn tại điểm M sao cho T = 3 MA^2 + 2 MB^2 đạt giá trị bé nhất T min . Tính giá trị T min ?

Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} ) = \vec 0 \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB} .\)

Vậy điểm \(I\) thuộc đoạn \(AB\) và \(IA = \frac{2}{5} \cdot AB = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8,IB = 12\).

Ta có \(:T = 3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} = 3{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} )^2} + 2{(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} )^2}\)

\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {IA}  + 3{\overrightarrow {IA} ^2} + 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI}  \cdot \overrightarrow {IB}  + 2{\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} (\underbrace {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} }_{\vec 0}) = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}.\end{array}\)

Ta có \(\left( {3I{A^2} + 2I{B^2}} \right)\) là hằng số do ba điểm \(A,B,I\) cố định.

Do đó: \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow 5M{I^2}\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\) bé nhất \( \Leftrightarrow \) Điểm \(M\) trùng với điểm \(I\).

Khi đó giá trị \(T\) nhỏ nhất là \(:{T_{\min }} = 3I{A^2} + 2I{B^2} = 3 \cdot {8^2} + 2 \cdot {12^2} = 480\).