Cho đồ thị hàm số \(y = 2{e^{ - {x^2}}}\) như hình vẽ. \(ABCD\) là hình chữ nhật thay đổi sao cho \(B\) và \(C\) luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và \(AD\) nằm trên trục hoành. Diện tích hình
19/21
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho đồ thị hàm số \(y = 2{e^{ - {x^2}}}\) như hình vẽ. \(ABCD\) là hình chữ nhật thay đổi sao cho \(B\) và \(C\) luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và \(AD\) nằm trên trục hoành. Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Lời giải
Giả sử điểm \(C\left( {x;2\,{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}} \right)\) với \(x > 0\).
Diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) là \(f\left( x \right) = 4x \cdot {{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\).
Ta có \(f'\left( x \right) = 4{{\rm{e}}^{ - {x^2}}} - 8{x^2}{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\)\( = 4{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\left( {1 - 2{x^2}} \right)\).
\(f'\left( x \right) = 0\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\left( n \right)\\x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên
Vậy maxS▭ABCD=22e.