Cho đồ thị hàm số như hình vẽ. là hình chữ nhật thay đổi sao cho và luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho và nằm trên trục hoành. Diện tích hình chữ nhật có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giả sử điểm \(C\left( {x;2\,{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}} \right)\) với \(x > 0\).

Diện tích của hình chữ nhật \(ABCD\) là \(f\left( x \right) = 4x \cdot {{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 4{{\rm{e}}^{ - {x^2}}} - 8{x^2}{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\)\( = 4{{\rm{e}}^{ - {x^2}}}\left( {1 - 2{x^2}} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\left( n \right)\\x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên

Vậy maxS▭ABCD=22e.