Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 có hai tiêu điểm là F1(–c; 0), F2(c; 0) (Hình 6).
4/18
Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): x2a2+y2b2=1 có hai tiêu điểm là F1(–c; 0), F2(c; 0) (Hình 6).
a) Tính F1M2 và F2M2 theo x, y, c.
b) Chứng tỏ rằng: F1M2 – F2M2 = 4cx, F1M – F2M = 2cxa.
c) Tính độ dài hai đoạn MF1 và MF2 theo a, c, x.
Hướng dẫn giải
a) F1M2 = [x-(-c)]2 + (y-0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2;
F2M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2
b) F1M2 – F2M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 - 2cx + c2 + y2) = 4cx.
F1M2 – F2M2 = 4cx => (F1M + F2M)(F1M – F2M) = 4cx => 2a(F1M – F2M) = 4cx
=> F1M – F2M = 4cx/2a = 2 cx/a
c)
+) Từ F1M + F2M = 2a và F1M−F2M=2cax ta suy ra:
(F1M + F2M) + (F1M – F2M) = 2a + 2cax => 2F1M = 2a + 2cax => MF1 = a + c/a x.
+) Từ F1M + F2M = 2a và F1M−F2M=2cax ta suy ra:
(F1M + F2M) – (F1M – F2M) = 2a – 2cax => 2F2M = 2a – 2cax => MF2 = a – c/a x.