Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm

a) Ta có: B(t; 0).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) = (t – 3; −2).

Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 3}}{{t - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}}\) hay y = 2 − \(\frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)\).

Suy ra điểm C có tung độ y_C = 2 + \(\frac{6}{{t - 3}}\).

Vậy C\(\left( {0;2 + \frac{6}{{t - 3}}} \right)\).

Ta có: OB = \(\sqrt {{{\left( {t - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} \) = t

           OC = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + \frac{6}{{t - 3}} - 0} \right)}^2}} = \frac{{2t}}{{t - 3}}\).

Diện tích tam giác OBC là S(t) = \(\frac{1}{2}\).OB.OC = \(\frac{1}{2}\).t.\(\frac{{2t}}{{t - 3}}\) = \(\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t) = \(\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).

1. Tập xác định: D = (3; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} S(t) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } S(t) = + \infty \).

Ta có: S(t) = t + 3 +\(\frac{9}{{t - 3}}\).

           S'(t) = 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\)

           S'(t) = 0 ⇔ 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ t = 6 (do t > 3).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại t = 6 và y_CT = 12.

c) Dựa vào bảng biến thiên ở phần b, ta thấy để diện tích tam giác OBC có diện tích nhỏ nhất thì B(6; 0).