Cho điểm A ( 1 ; 2 ; − 1 ) và mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 2z + 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với mặt phẳng ( α ) và cách A một khoảng bằng 1.

Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(x - 2y + 2z + d = 0\left( {d \ne 2} \right)\).

Vì \(d\left( {A,\left( \beta \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 2.2 + 2.\left( { - 1} \right) + d} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {d - 5} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 8\\d = 2\end{array} \right.\).

Vì \(d \ne 2\) nên mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) có dạng \(x - 2y + 2z + 8 = 0\).