Cho Delta ABC vuông tại C{CB > CA}, với E là trung điểm của AB

a) Ta có:

\[DE \bot BC\] (giả thiết) nên \(\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .\)

\[EH \bot AC\](giả thiết) nên \(\widehat {EHA} = \widehat {EHC} = 90^\circ .\)

\[\Delta ABC\] vuông tại \(C\) (giả thiết) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \[CHED\] có: \(\widehat {EHC} = \widehat {EDC} = \widehat {AB}B = 90^\circ \) nên \[CHED\]là hình chữ nhật.

b) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[C\] có \[CE\] là đường trung tuyến \[(E\] là trung điểm \[AB)\] nên \[AE = BE = CE = \frac{{BA}}{2}\] (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Cách 1.

Xét \[\Delta BEC\] có: \[BE = EC\] (chứng minh trên) nên \[\Delta BEC\] cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao \[ED\] đồng thời là đường trung tuyến.

Cách 2.

Xét \[\Delta EDC\] và \[\Delta EDB\] có:

\[ED\;\] chung;

\[BE = EC\] (chứng minh trên);

\(\widehat {EDC} = \widehat {EDB} = 90^\circ .\)

Do đó \[\Delta EDC = \Delta EDB\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) Do \[AMBD\]là hình bình hành (câu b) nên \[AM\,{\rm{//}}\,BD,\] \[AM = BD,\,\,AD = MB.\]

Mà \[CD = BD\] nên \[MA = BD = CD.\]

Xét tứ giác \[AMDC\] có: \[AM\,{\rm{//}}\,CD\] (do \[AM\,{\rm{//}}\,BD)\] và \[AM = CD\] nên \[AMDC\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).