Cho Delta ABC vuông tại B{BC > BA} , M là trung điểm của AC

5/6

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\] \[\left( {BC > BA} \right),\] với \(M\) là trung điểm của \[AC.\] Từ \[M\] kẻ \[ME\] vuông góc với \[BC\] \[\left( {E \in BC} \right),\] \[MD\;\] vuông góc với \[AB\] \[\left( {D \in AB} \right).\]

a) Chứng minh tứ giác \[BDME\] là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm \[F\] thuộc tia đối tia \[ME\] sao cho \[MF = ME.\] Chứng minh: \[BE = EC\] và tứ giác \[AFCE\] là hình bình hành.

c) Gọi \[I,{\rm{ }}K\] lần lượt là giao điểm của \[BM,{\rm{ }}BF\;\] với \[AE.\] Tính \[\frac{{IK}}{{FC}}?\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Ta có: \[ME \bot AC\] (giả thiết) nên \(\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .\) \[MD \bot AB\] (giả thiết) nên \(\widehat {MDA} = \widehat {MDB} = 90^\circ .\) \[\Delta ABC\] vuông tại \(B\) (giả thiết) nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ .\) Xét tứ giác \[BDME\] có: \(\widehat {MDB} = \widehat {MEB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \) nên \[BDME\] là hình chữ nhật.
b) Xét \[\Delta ABC\] vuông tại \[B\] có \[BM\] là đường trung tuyến \[(M\] là trung điểm \[AC)\] nên\[AM = BM = CM = \frac{{BC}}{2}\] (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
*Cách 1.* Xét \[\Delta BMC\] có: \[BM = MC\] (chứng minh trên) nên \[\Delta BMC\] cân (dấu hiệu nhận biết) có đường cao \[ME\] đồng thời là đường trung tuyến.	*Cách 2.* Xét \[\Delta MEB\] và \[\Delta MEC\] có: \[ME\;\] chung; \[BM = MC\] (chứng minh trên); \(\widehat {MEC} = \widehat {MEB} = 90^\circ .\) Do đó \[\Delta MEB = \Delta MEC\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó \[BE = BC.\]

Xét tứ giác \[AFCE\] có \[M\]là trung điểm của \[EF\](do \[ME{\rm{ }} = {\rm{ }}MF)\] và \[M\] là trung điểm \[AC\] nên \[AFCE\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

c) Do \[AFCE\]là hình bình hành (câu b) nên \[FA\,{\rm{//}}\,CE\] \[FA = CE,\] \[AE = CF.\]

Mà \[BE = EC\] nên \[FA = BE = EC.\]

Xét tứ giác \[AFEB\] có: \[FA\,{\rm{//}}\,BE\] (do \[FA\,{\rm{//}}\,CE)\] và \[FA = BE\] nên \[AFEB\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Cho Delta ABC vuông tại B{BC > BA} , M là trung điểm của AC (ảnh 3)

Hình bình hành \[AFEB\] có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra \[AE = BF,\,\,KA = KE,\] \[KB = KF.\]

Do đó \[KE = KA = KF = KB = \frac{1}{2}AE = \frac{1}{2}FC.\]

Xét \[\Delta EBF\] có hai đường trung tuyến \[EK,\,\,BM\] cắt nhau tại \[I\] nên \(I\) là trọng tâm \[\Delta EBF,\] do đó \[KI = \frac{1}{3}KE = \frac{1}{6}FC.\]