Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, đường tròn tâm

7/8

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, đường tròn tâm $O$ cắt $BC$ tại $D$. Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OC$ tại $H$, $AH$ cắt $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai là $E$.

a) Chứng minh $OE \bot CE$ và 4 điểm $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $C{A^2} = CH.CO$ và $CH.CO = CD.CB$ .

c) Chứng minh $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}$ và $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, đường tròn tâm (ảnh 1)$

a) Chứng minh $OE \bot CE$ và 4 điểm $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

Xét \[\Delta AEO\] có $OA = OE = R$, suy ra \[\Delta AEO\] cân tại $O$

Mà $OH$ là đường cao ( gt)

Nên $OH$ đồng thời là đường phân giác (tc)

Chứng minh được \[\Delta AOC = \Delta EOC\left( {cgc} \right)\]

Suy ra \[\widehat {OAC} = \widehat {OEC} = 90^\circ \]

Xét \[\Delta ACO\] có $\widehat {OAC} = 90^\circ $

Suy ra $A,\,O,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$ (1)

Xét \[\Delta ECO\] có $\widehat {CEO} = 90^\circ $

Suy ra $E,\,O,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A,\,C,\,E,\,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$.

b) Chứng minh $C{A^2} = CH.CO$ và $CH.CO = CD.CB$.

Xét $\Delta CHA$ và $\Delta CAO$ ta có

$\widehat {AHC} = \widehat {OAC} = 90^\circ $

$\widehat {OCA}\,$chung

Suy ra : $\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CO}} \Rightarrow CH.CO = C{A^2}\left( 1 \right)$

Chứng minh tương tự ta có Suy ra : $\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow ACD.CB = C{A^2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $CH.CO = CD.CB$ (đpcm)

Suy ra : $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CO}}$

c) Chứng minh $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}$ và $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Gọi $AE$ cắt $BC$ tại $M$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta CBO$ ta có $\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CO}}\left( {cmt} \right)$; $\widehat {OCB}\,$chung

Suy ra $\widehat {CHD} = \widehat {CBO}\left( {dpcm} \right)$ và $\widehat {CDH}\, = \widehat {COB}$

Suy ra $\widehat {COA} = \widehat {HDB}\,\,\,\left( a \right)$

Chứng minh tương tự ta có

Suy ra : $\frac{{MB}}{{ME}} = \frac{{MA}}{{MD}}$

Suy ra : $ \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {MDE}\,\,\,\left( b \right)$

Mặt khác: $\widehat {OAH} + \widehat {AOH} = 90^\circ \,\,\,\left( c \right)$

Từ (a), ( b) và (c) suy ra $\widehat {HDM} + \widehat {MDE} = 90^\circ $ hay $\widehat {HDE} = 90^\circ $

Suy ra $E{H^2} = D{E^2} + D{H^2}$.

Đề thi thử vào lớp 10 Toán trường THCS Lê Lợi (Hà Nội) năm 2025-2026 Tháng 12 có đáp án

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\), đường tròn tâm