Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ ($\widehat A < 90^\circ $). Kẻ $BD \bot AC$ tại $D$ và $CE \bot AB$ tại $E$. a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACE$, từ đó suy ra \(\widehat {A

4/5

Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ ($\widehat A < 90^\circ $). Kẻ $BD \bot AC$ tại $D$ và $CE \bot AB$ tại $E$.

a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACE$, từ đó suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$.

Chứng minh $\Delta BHC$ là tam giác cân. So sánh $HB$ và $HD.$

c) Trên tia đối của tia $EH$, lấy điểm $P$ sao cho $PH < HC$. Trên tia đối của tia $DH$, lấy điểm $Q$ sao cho $QH = HP$. Chứng minh các đường thẳng $BP$, $AH$, $CQ$ đồng quy.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ ($\widehat A < 90^\circ $). Kẻ $BD \bot AC$ tại $D$ và $CE \bot AB$ tại $E$. a) Chứng minh $\Delta ABD = \Delta ACE$, từ đó suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$. b) Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $\Delta BHC$ là tam giác cân. So sánh $HB$ và $HD.$ c) Trên tia đối của tia $EH$, lấy điểm $P$ sao cho $PH < HC$. Trên tia đối của tia $DH$, lấy điểm $Q$ sao cho $QH = HP$. Chứng minh các đường thẳng $BP$, $AH$, $CQ$ đồng quy. (ảnh 1)$

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$, có:

$\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ $;

\[AB = AC\] (do $\Delta ABC$ cân tại $A$);

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

Do đó $\Delta ABD = \Delta ACE$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (cặp góc tương ứng).

b) Ta có $\widehat {ABD} = \widehat {ACE}$ (câu a)

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$).

Do đó $\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}$ hay $\widehat {HBC} = \widehat {HCB}$.

$\Delta BHC$ có $\widehat {HBC} = \widehat {HCB}$ nên là tam giác cân tại $H$.

Suy ra $HB = HC\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $\Delta HCD$ vuông tại $D$ nên cạnh huyền $HC$ là lớn nhất.

Do đó $HC > HD\,\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $HB > HD$.

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BP$ và $CQ$.

Xét $\Delta BPH$ và $\Delta CQH$, có:

$HP = HQ$ (giả thiết);

$\widehat {BHP} = \widehat {CHQ}$ (hai góc đối đỉnh);

$HB = HC$ (câu b).

Do đó $\Delta BPH = \Delta CQH\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $\widehat {HBP} = \widehat {HCQ}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat {HBC} = \widehat {HCB}$ (câu b).

Suy ra $\widehat {HBC} + \widehat {HBP} = \widehat {HCB} + \widehat {HCQ}$ hay $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$.

$\Delta IBC$ có $\widehat {IBC} = \widehat {ICB}$ nên là tam giác cân tại $I$.

Suy ra $IB = IC$.

Mà $AB = AC$ (câu a) và $HB = HC$ (câu b).

Do đó ba điểm $I$, $A$, $H$ cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.

Hay $I$, $A$, $H$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $BP$, $CQ$, $AH$ đồng quy.

Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Chân trời sáng tạo (Tự luận) có đáp án - Đề 5

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (\(\widehat A < 90^\circ \)). Kẻ \(BD \bot AC\) tại \(D\) và \(CE \bot AB\) tại \(E\). a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACE\), từ đó suy ra \(\widehat {A