Cho dãy số (Un) xác định bởi u1 = 1, u(n+1) = un + 1/2^n

Ta có \({u_n} = \left( {{u_n} - {n_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) +  \ldots  + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}\)

\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}} +  \ldots  + \frac{1}{2} + 1.\)

Dãy \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}};\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}};\,\, \ldots ;\,\,\frac{1}{2};\,\,1\) là một cấp số nhân có \(n\) số hạng với số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\) nên \({u_n} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\)

Vậy \(\lim \left( {{u_n} - 2} \right) = \lim \left[ { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right] = 0.\)

Đáp án: 0.