Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1, u(n+1) = (n+2). un + 2/ n, mọi n thuộc N sao

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 2} \right){u_n} + 2}}{n} \Leftrightarrow n{u_{n + 1}} = \left( {n + 2} \right){u_n} + 2\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Đặt \({u_n} = {v_n} - 1,\,\,\forall n \in \mathbb{N}*\) thì \({v_1} = 1 + 1 = 2\) và \(n{u_{n + 1}} = \left( {n + 2} \right){u_n} + 2\).

Do đó \(n{v_{n + 1}} = \left( {n + 2} \right){v_n} \Leftrightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{{v_n}}}{{n\left( {n + 1} \right)}} \Rightarrow \frac{{{v_1}}}{2} = 1\)

\( \Rightarrow {v_n} = n\left( {n + 1} \right) \Rightarrow {u_n} = n\left( {n + 1} \right) - 1 = {n^2} + n - 1\).

Vậy \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{n^2}}} = \lim \frac{{{n^2} + n - 1}}{{{n^2}}} = 1\).

Đáp án: 1.