Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 1, u(n+1) = 1/2 un + 3/2, mọi n thuộc N sao

Đặt \({u_n} = {v_n} + 3\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), thì \({v_1} = {u_1} - 3 =  - 2.\)

Khi đó \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}{u_n} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + 3 = \frac{1}{2}\left( {{v_n} + 3} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = \frac{1}{2}{v_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Do đó, dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với \({v_1} =  - 2\,;\,\,q = \frac{1}{2}\).

Do đó \({v_n} =  - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} =  - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}} \Rightarrow {u_n} = 3 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 2}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3.{\rm{ }}\)

Đáp án: 3.