Cho dãy số (un) với u1=1, u(n+1)=un+(-1)^2n

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + {( - 1)^{2n}} = {u_n} + 1 \Rightarrow {u_2} = 2;{u_3} = 3;{u_4} = 4; \ldots \) Dễ dàng dự đoán được \({u_n} = n\).

Thật vậy, ta chứng minh được \({u_n} = n\,\,(*)\) bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với \(n = 1 \Rightarrow {u_1} = 1\). Vậy (*) đúng với \(n = 1\)

+ Giả sử (*) đúng với mọi \(n = k\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\), ta có: \({u_k} = k\). Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là: \({u_{k + 1}} = k + 1\)

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ta có: \({u_{k + 1}} = {u_k} + {( - 1)^{2k}} = k + 1\). Vậy \((*)\) đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).