Cho dãy số (un) với u n = s i n ( 2 n π 3 − π 6 ) . Gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số này. Tính giá trị của biểu thức: T = ( S 2023 ) 2 + 2 S 2024 − 3

\[{u_{3k}}{\rm{ = }}\,\,sin\left( {\frac{{2.3k\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\,sin\left( {k2\pi - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }}\,\,sin\left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\,\,{\rm{ = }} - \frac{1}{2}\]

\[{u_{3k + 1}}{\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2.\left( {3k + 1} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {k2\pi + \frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\frac{\pi }{2} = 1\]

\[u_{3k + 2}^{}{\rm{ = }}sin\left( {\frac{{2.\left( {3k + 2} \right)\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {k2\pi + \frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\left( {\frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{6}} \right){\rm{ = }}sin\frac{{7\pi }}{6}{\rm{ = }} - \frac{1}{2}\]

Do đó tổng của ba số hạng liên tiếp của dãy số bằng 0. Ta có:

\[{{\rm{S}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{ + }}...{\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2021}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}} \right){\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ = 1}}\]

\[{{\rm{S}}_{{\rm{2024}}}}{\rm{ = }}\left( {{{\rm{u}}_{\rm{1}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{\rm{3}}}} \right){\rm{ + }}...{\rm{ + }}\left( {{{\rm{u}}_{{\rm{2020}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2021}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2022}}}}} \right){\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}\]

\[{\rm{ = }}{{\rm{u}}_{{\rm{2023}}}}{\rm{ + }}{{\rm{u}}_{{\rm{2024}}}}{\rm{ = 1 + }}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\]

Vậy\[{\rm{T = }}{\left( {{{\rm{S}}_{{\rm{2023}}}}} \right)^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{S}}_{{\rm{2024}}}} - {\rm{3 = }}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 2}}{\rm{.}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{3 = }} - {\rm{1}}\]

Đáp án cần chọn là: C