Cho dãy số (un) được xác định như sau: U1= 0 và U1+1 = n+n+1( Un+1) . Số hạng u11 là A. 8; B. 9; C. 10; D. 5.

Đáp án đúng là: D

Ta tính được u₂ =    11+1⋅0+1=12    

Ta có:

u_{n + 1}.(n + 1) = (u_n + 1).n = n + u_n­.n;

u_n.n = (u_{n – 1} + 1).(n – 1);

…

u₂.2 = (u₁ + 1).1 = 1 + u_1­.1

Þ u_{n + 1}.(n + 1) = n + (u _{n – 1} + 1).(n – 1) = n + (n – 1) + u _{n – 1}.(n – 1);

     u_n-1.(n – 1) = (n – 2) + (n – 3) + u_{n – 3}.(n – 3);

     …

     u₄.4 = 3 + 2 + u₂.2 = 3 + 2 + 1;

     u₃.3 = 2 + 1 + u₁.1 = 2 + 1;

+) Nếu n + 1 chia hết cho 2 thì

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 2 + 1 = n.n+12.

Suy ra  un+1=n2.

+) Nếu n + 1 không chia hết cho 2 thì:

u_{n + 1}.(n + 1) = n + (n – 1) + (n – 2) + … + 3 + 2 + 1 =n.n+12 .

Suy ra un+1=n2 .

Suy ra công thức tổng quát un+1=n2  đúng với cả 2 trường hợp.

Vậy số hạng thứ 11 của dãy là: u11=102=5.