Cho dãy số ( un) có u1 = 1; un + 1 = un + 1/n^2, n thuộc N. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng? (I) ( un) là dãy số tăng (II) ( un) là dãy số bị chặn dưới (III) (u2 =

21/50

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1;\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{n^2}}},\,\forall n \in \mathbb{N}\). Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(I) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng (II) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới (III) \({u_2} = 2{u_1}\)

Giải thích

Đáp án D

Phương pháp:

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

+ \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi \({u_n} > {u_{n - 1}}\)\(\left( {\forall n \in \mathbb{N}*} \right)\)

\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới khi tồn tại số \(m\)sao cho \({u_n} \ge m\)\(\left( {\forall n \in \mathbb{N}*} \right)\)

Cách giải:

Ta có \({u_1} = 1;\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{n^2}}},\,\forall n \in \mathbb{N}\)nên \({u_2} = {u_1} + \frac{1}{{{1^2}}} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow {u_2} = 2{u_1}\)nên (III) đúng.

Lại có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{n^2}}} > 0\)\(\left( {\forall n} \right)\)hay \({u_{n + 1}} > {u_n}\)nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng nên (I) đúng.

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng nên ta có \({u_n} \ge {u_1} = 1\)với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Hay \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới nên (II) đúng.