Cho dãy số ( u n ) xác định bởi: u n = 1/( 1.3) + 1/( 3.5) + 1 /(5.7) + … + 1 ( 2n − 1 ) ⋅ ( 2n + 1 ) . Khi đó:

14/22

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \({u_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} + \ldots + \frac{1}{{(2n - 1) \cdot (2n + 1)}}\). Khi đó:

a) Số hạng thứ 2021 là \(\frac{{2021}}{{4040}}\)

b) Số hạng thứ 2022 là \(\frac{{2022}}{{4043}}\)

c) Số hạng thứ 2023 là \(\frac{{2023}}{{4047}}\)

b) Số hạng thứ 2024 là \(\frac{{2024}}{{4049}}\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Với \(k\) là số nguyên dương, ta có:

\(\frac{1}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}} = \frac{1}{2}\left[ {\frac{{(2k + 1) - (2k - 1)}}{{(2k - 1) \cdot (2k + 1)}}} \right] = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{(2k - 1)}} - \frac{1}{{(2k + 1)}}} \right)\).

Khi đó: \({u_n} = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{{(2n - 1)}} - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{{(2n + 1)}}} \right] = \frac{n}{{2n + 1}}\).

Vậy \({u_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\), với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Áp dụng công thức số hạng tổng quát ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{2021}} = \frac{{2021}}{{2.2021 + 1}} = \frac{{2021}}{{4043}}\\{u_{2022}} = \frac{{2022}}{{2.2022 + 1}} = \frac{{2022}}{{4045}}\\{u_{2023}} = \frac{{2023}}{{2.2023 + 1}} = \frac{{2023}}{{4047}}.\\{u_{2024}} = \frac{{2024}}{{2.2024 + 1}} = \frac{{2024}}{{4049}}.\end{array}\)