Cho dãy số ( u n ) với u 1 = 1 và u n + 1 = 3 u n + 10 với mọi n ≥ 1.

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = {2.3^n} - 5{\rm{ }}\left( 1 \right)\) bằng phương pháp quy nạp.

Với \(n = 1\), ta có: \({u_1} = {2.3^1} - 1 = 1\) (đúng). Vậy \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = 1.\)

Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\left( {k \in {N^*}} \right)\). Có nghĩa là ta có: \({u_k} = {2.3^k} - 5{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1.\) Có nghĩa ta phải chứng minh:

\({u_{n + 1}} = {2.3^{k + 1}} - 5.\)

Từ hệ thức xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và từ (2) ta có:

\({u_{k + 1}} = 3{u_k} + 10 = 3.\left( {{{2.3}^k} - 5} \right) + 10 = {2.3^k}.3 - 15 + 10 = {2.3^{k + 1}} - 5\) (đpcm).