Cho dãy số ( u n ) thỏa mãn { 5 u1 + √ 5 u1 − u2 = u2 + 6 u (n + 1) = 3 u n , ∀ n ∈ N ∗ . Giá trị nhỏ nhất của n để u n ≥ 2.3^ 2018 bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2019

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + \sqrt {5{u_1} - {u_2}} = {u_2} + 6{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{u_{n + 1}} = 3{u_n},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Từ (1) có \[5{u_1} + \sqrt {5{u_1} - {u_2}} = {u_2} + 6\]

\[ \Leftrightarrow \left( {5{u_1} - {u_2}} \right) + \sqrt {5{u_1} - {u_2}} - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {5{u_1} - {u_2}} = 2 \Leftrightarrow 5{u_1} - {u_2} = 4.\]

Từ (2) có \[{u_{n + 1}} = 3{u_n} \Rightarrow {u_2} = 3{u_1}\]. Giải hệ \[\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 3{u_1}\\5{u_1} - {u_2} = 4\end{array} \right.\] được \[{u_1} = 2\].

Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số nhân với \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = 3\end{array} \right.\] có số hạng tổng quát \[{u_n} = {2.3^{n - 1}}\] với \[n \in {\mathbb{N}^ * }\].

Suy ra \[{u_n} \ge {2.3^{2018}} \Leftrightarrow {2.3^{n - 1}} \ge {2.3^{2018}} \Leftrightarrow n - 1 \ge 2018\] \[ \Leftrightarrow n \ge 2019\].

Vậy giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là \[n = 2019\].