Cho đa thức P(x)=x^3+ax+b có nghiệm 1+√2 với a,b là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng P(x) chia hết cho đa thức x2−2x−1.

Vì \(1 + \sqrt 2 \) là nghiệm của \(P\left( x \right)\) nên \(P\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0\)

Khi đó \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3} + a\left( {1 + \sqrt 2 } \right) + b = 0\)

\(1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 + a + a\sqrt 2 + b = 0\)

\(7 + a + b + \left( {5 + a} \right)\sqrt 2 = 0\)

\(\left( {5 + a} \right)\sqrt 2 = - 7 - a - b\)

Nếu \(5 + a \ne 0\) thì \(\sqrt 2 = \frac{{ - 7 - a - b}}{{5 + a}}\) (vô lí)

Nếu \(5 + a = 0\) thì \(7 - a - b = 0\) hay \(a = - 5\) và \(b = - 2\)

Khi đó \(P\left( x \right) = {x^3} - 5x - 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\)

Vậy \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \({x^2} - 2x - 1.\)