Cho đa thức P(x) với các hệ số nguyên thỏa mãn P(2021).P(2022) = 2023. Chứng minh rằng đa thức P(x) - 2024 không có nghiệm nguyên.

Giả sử P(x) − 2024 có nghiệm nguyên là a, khi đó: P(x)−2024 = Q(x)(x − a)với Q(x) là đa thức hệ số nguyên 

⇒ P(x) = Q(x)(x − a) + 2024

Với x = 2021, thay vào biểu thức trên, ta được: P(2021) = Q(2021)(x − 2021) + 2024

Với x = 2022, thay vào biểu thức trên, ta được : P(2022) = Q(2022)(x − 2022) + 2024

Có P(2021).P(2022) = 2023

⇒ [Q(2021)(x−2021)+2024][Q(2022)(x−2022)+2024] = 2023

⇔Q(2021).Q(2022)(x − 2021)(x − 2022) + 2024Q(2021)(x − 2021) + 2024Q(2022)(x − 2022) + 2024.2024 = 2023

Xét x – 2021 và x – 2022 là 2 số nguyên liên tiếp nên (x – 2021)(x – 2022) chia hết cho 2

Suy ra: Q(2021).Q(2022)(x – 2021)(x – 2022) ⋮ 2

⇒ VT = Q(2021).Q(2022)(x − 2021)(x − 2022) + 2024Q(2021)(x − 2021) + 2024Q(2022)(x − 2022) + 2024.2024 ⋮ 2.

Mà VP = 2023 không chia hết cho 2⇒ Vô lý

⇒ Giả sử trên là vô lý ⇒ Đa thức P(x) − 2024 không có nghiệm nguyên (đpcm)

Vậy đa thức P(x) − 2024 không có nghiệm nguyên.