Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn. U4= 1/27 và U3=243 U8 . Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là

10/10

Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn. \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\]. Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là

\[A.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {3^{19}}} \right]\];

\[B.\frac{2}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];

\[C.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\];

\[D.\frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {3^{20}}} \right]\].

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Gọi q là công bội của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.\] (vì \[{u_1} \ne 0\])

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

\[{S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]\].