Cho cấp số nhân un, biết u1 + u3 = 5, u2 + u4 = 15

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 5\\{u_2} + {u_4} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^2} = 5\\{u_1}q + {u_1}{q^3} = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u_1}q\left( {1 + {q^2}} \right) = 15\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Chia vế theo vế phương trình (2) cho phương trình (1), ta được: \(q = \frac{{15}}{5} = 3\).

Thay \(q = 3\) vào phương trình (1): \({u_1}\left( {1 + {3^2}} \right) = 5 \Leftrightarrow 10{u_1} = 5 \Leftrightarrow {u_1} = \frac{1}{2}\).

Xét từng phát biểu:

a) Phát biểu nói \({u_1} = 2\) là Sai (thực tế \({u_1} = \frac{1}{2}\)).

b) Số hạng thứ 4 là: \({u_4} = {u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{2} \cdot {3^3} = \frac{{27}}{2}\).

\( \Rightarrow \) Phát biểu này là Đúng.

c) Giả sử \(\frac{{729}}{2}\) là số hạng thứ \(n\):

Ta có \({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Leftrightarrow \frac{{729}}{2} = \frac{1}{2} \cdot {3^{n - 1}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 729 \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^6} \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7\).

Vậy \(\frac{{729}}{2}\) phải là số hạng thứ 7, phát biểu nói là số hạng thứ 8 là Sai.

d) Tổng 10 số hạng đầu tiên là: \({S_{10}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - 59049}}{{ - 2}} = \frac{{ - 59048}}{{ - 4}} = 14762\).

\( \Rightarrow \) Phát biểu này là Đúng.