Cho các số tự nhiên a1, a2, ..., a2013 có tổng bằng 20132014. Chứng minh rằng chia hết cho 3.

Theo đề, ta có a₁ + a₂ + ... + a₂₀₁₃ = 2013²⁰¹⁴.

Đặt S=a13+a23+...+a20133.

Suy ra S−20132014=a13+a23+...+a20133−a1+a2+...+a2013 .

                             =a13−a1+a23−a2+...+a20133−a2013    (*)

Ta xét bài toán phụ sau: x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1).

Ta thấy x; (x – 1) và (x + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích x(x – 1)(x + 1) chia hết cho 3.

Suy ra x³ – x chia hết cho 3.

Từ kết quả của bài toán phụ trên, ta suy ra mỗi hiệu của tổng (*) đều chia hết cho 3.

Do đó (*) chia hết cho 3 hay S – 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3.

Mà 2013²⁰¹⁴ chia hết cho 3 (vì 2013 chia hết cho 3).

Vậy S chia hết cho 3 hay  chia hết cho 3 (điều phải chứng minh).