Cho các số thực x, y (x + y khác 0). Chứng minh rằng: x^2 + y^2 + (1 + xy)

Đặt z = \( - \frac{{1 + xy}}{{x + y}}\)

Ta có: xy + yz + zx = –1

Bất đẳng thức ban đầu trở thành:

x² + y² + z² ≥ 2

⇔ x² + y² + z² ≥ –2 (xy + yz + zx)

⇔ x² + y² + z² + 2 (xy + yz + zx) ≥ 0

⇔ (x+y+z)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy x² + y² + \({\left( {\frac{{1 + xy}}{{x + y}}} \right)^2}\)≥ 2.