Cho các số thực x,y thoả mãn x^2+2xy+3y^2=4. Giá trị lớn nhất của biểu thức là

Ta có \(P = 4.\) \(\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{x^2} + 2xy + 3{y^2}}}\).

• Với \(y = 0 \Rightarrow {x^2} = 4 \Rightarrow P = 4\).

• Với \(y \ne 0 \Rightarrow \frac{P}{4} = \frac{{\frac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{{y^2}}}}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{{2x}}{y} + 3}} = \frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{t^2} + 2t + 3}} = A\,\,\,\left( {t = \frac{x}{y}} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2}\left( {A - 1} \right) + 2t\left( {A + 1} \right) + 3A - 1 = 0\)

Phương trình trên có nghiệm\( \Leftrightarrow \Delta ' =  - 2{A^2} + 6A \le 0 \Leftrightarrow 0 \le A \le 3 \Leftrightarrow P \le 12\)\( \Rightarrow maxP = 12\)

Đáp án: 12.