Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x^2 + y^2 + 4z^2 <= 6y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta chứng minh bổ đề: 1m2+1n2≥8m+n2

Áp dụng BĐT Cauchy: 1m2+1n2≥21m2⋅n2=2mn.

Do mn≤m+n24  nên suy ra 1m2+1n2≥8m+n2.

Ta có: 4x2+4≥24x2⋅4=8x;4y2+4≥8y;4z2+4≥8z.

Cộng vế với vế ta được: 24≥8x+8z+2y⇔3≥x+z+y4.

Ta lại có: 1z+12+16y+42+8x+32=1z+12+1y4+12+8x+32

≥8z+y4+22+8x+32

≥8⋅8z+y4+2+x+32≥8⋅83+2+32=1.

⇒1z+12+16y+42+8x+32+2  023≥1+2  023=2  024.

Dấu “=” xảy ra khi x=1;  y=4;  z=1.