Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1/(5xy )+ 5/(x + 2y + 5).

Ta có: \[P = \frac{1}{{5xy}} + \frac{5}{{x + 2y + 5}}\]

\[5P = \frac{1}{{xy}} + \frac{{25}}{{x + 2y + 5}} = \frac{{{1^2}}}{{xy}} + \frac{{{5^2}}}{{x + 2y + 5}}\].

Áp dụng BĐT \[\frac{{{x^2}}}{a} + \frac{{{y^2}}}{b} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\] ta được

\[5P \ge \frac{{{{\left( {1 + 5} \right)}^2}}}{{xy + x + 2y + 5}} = \frac{{36}}{{\left( {x + 2} \right).\left( {y + 1} \right) + 3}}\]

Ta lại có: \[\left( {x + 2} \right).\left( {y + 1} \right) \le \frac{{{{\left( {x + 2 + y + 1} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{6^2}}}{4} = 9\]

\[ \Rightarrow \left( {x + 2} \right).\left( {y + 1} \right) + 3 \le 12\]

\[ \Rightarrow \frac{{36}}{{\left( {x + 2} \right).\left( {y + 1} \right) + 3}} \ge \frac{{36}}{{12}} = 3\]

\[ \Rightarrow P \ge \frac{5}{3}\]

Dấu  xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\x + 2 = y + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy GTLN \[P = \frac{5}{3}\] khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\]