Cho các số thực dương x,y thoả mãn 2023^4x2-y+7x+10 - (2x+1)^2/y-3x-9 = 0

Ta có \({2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} - \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} = 0.\)

\( \Leftrightarrow {2023^{4{x^2} - y + 7x + 10}} = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}} > 0 \Rightarrow y - 3x - 9 > 0\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{y - 3x - 9}}\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - y + 7x + 10 = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _{2023}}\left( {y - 3x - 9} \right) - \left( {y - 3x - 9} \right) = {\log _{2023}}\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{2023}}t - t\) với \(t > 0\), có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t \cdot \ln 2023}} - 1 < 0\,;\,\,\forall t > 0.\)

Do đó \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Suy ra \(f\left( {y - 3x - 9} \right) = f\left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) \Leftrightarrow y - 3x - 9 = 4{x^2} + 4x + 1\)

\( \Leftrightarrow y = 4{x^2} + 7x + 10 \Rightarrow M = y - 11x = 4{x^2} - 4x + 10 = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 9 \ge 9.\)

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{1}{2}\,;\,\,y = \frac{{29}}{2}.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là 9. Đáp án: 9.