Cho các số thực dương (a,b,c) thỏa mãn (a + b + c = 1.) Chứng minh

Theo bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương, ta có:

\(\frac{a}{{1 + 9{b^2}}} = \frac{{a\left( {1 + 9{b^2}} \right) - 9a{b^2}}}{{1 + 9{b^2}}} = a - \frac{{9a{b^2}}}{{1 + 9{b^2}}} \ge a - \frac{{9a{b^2}}}{{2\sqrt {1 \cdot 9{b^2}} }} = a - \frac{3}{2}ab.\)

Tương tự \(\frac{b}{{1 + 9{c^2}}} \ge b - \frac{3}{2}bc,\,\,\,\frac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge c - \frac{3}{2}ca.\)

Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a}{{1 + 9{b^2}}} + \frac{b}{{1 + 9{c^2}}} + \frac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge a + b + c - \frac{3}{2}\left( {ab + bc + ca} \right).\)

Vì \(ab + bc + ca \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) hay \(ab + bc + ca \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}\)

Do đó \(\frac{a}{{1 + 9{b^2}}} + \frac{b}{{1 + 9{c^2}}} + \frac{c}{{1 + 9{a^2}}} \ge a + b + c - \frac{1}{2}{\left( {a + b + c} \right)^2} = \frac{1}{2}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}.\)