Cho các số thực a , b , c tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?

15/15

Cho các số thực \[a,b,c\] tùy ý. Khẳng định nào sau đây là đúng?

\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) > {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]

\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) < {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]

</>

\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]

\[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

\[ = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac} \right)\]

\[ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\]

\[ = \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)\]

\[ = {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2}\]

Với mọi số thực \[a,b,c\] tùy ý, ta có:

\[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0.\]

Do đó \[{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0.\]

Vì vậy \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - {\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\] hay \[3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c.\]

Vậy ta chọn phương án C.