Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thoả mãn \(a + b + c = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4/5

\(P = \frac{{2a - 1}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{2b - 1}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{2c - 1}}{{{c^2} + 2}} \cdot \)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó

\(P + 3 \ge \frac{{{{\left( {a + b + 2} \right)}^2}}}{{{{(a + b)}^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} = \frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}}\).

Xét BĐT: \(\frac{{{{(c - 2)}^2}}}{{{c^2} + 4}} + \frac{{{{(c + 1)}^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow {c^2}{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) (đúng).

Vậy \(P \ge \frac{{ - 3}}{2}\); dấu đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi \(a = b = c = 0\), \(a = b = - 1,c = 2\). Do đó \[{P_{\min }} = \frac{{ - 3}}{2}\].