Cho các số thực (a,b,c) thay đổi luôn thỏa mãn

Cho các số thực \(a,b,c\) thay đổi luôn thỏa mãn \[a \ge 1,\,b \ge 1,\,c \ge 1\] và \[ab + bc + ca = 9\].

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

• Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab\).

Tương tự: \({b^2} + {c^2} \ge 2bc\); \({c^2} + {a^2} \ge 2ca\).

Suy ra: \(2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow P \ge 9\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

\(a = b = c \Leftrightarrow ab = bc = ca = 3 \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)

Vậy \(\min P = 9 \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 \)

• Vì \(a \ge 1,b \ge 1\) nên:

\(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 \ge 0 \Leftrightarrow a + b \le ab + 1\)

Tương tự: \(b + c \le bc + 1\); \(c + a \le ca + 1\)

Do đó:

\({\rm{     }}2\left( {a + b + c} \right) \le ab + bc + ca + 3\)

\[ \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) \le 12\]

\[ \Leftrightarrow a + b + c \le 6\]

\[ \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \le 36{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}a + b + c > 0} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \le 36\]

\[ \Leftrightarrow P + 2.9 \le 36\]

\[ \Leftrightarrow P \le 18\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi trong ba số \[a,b,c\] có ít nhất hai số bằng 1

Nhưng ba số \[a,b,c\] không thể đồng thời bằng 1 vì \(ab + bc + ca = 9\)

Þ Có hai số bằng 1, do đó số còn lại bằng 4.

Vậy \(\max P = 18 \Leftrightarrow (a,b,c) \in \left\{ {\left( {4;1;1} \right),\left( {1;4;1} \right),\left( {1;1;4} \right)} \right\}\).