Cho các số phức z1=-2+i, z2=2+i và số phức z thay đổi thỏa mãn

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \bar z = x - yi\)

Ta có \(\left( {z - 1} \right)\left( {\bar z + 2i} \right) = z \cdot \bar z + 2iz - \bar z - 2i\)

\( = {x^2} + {y^2} + 2i\left( {x + yi} \right) - x + yi - 2i\)

\( = {x^2} + {y^2} + 2xi - 2y - x + yi - 2i\)

\( = {x^2} + {y^2} - x - 2y + \left( {2x + y - 2} \right)i\) là số thực khi và chỉ khi: \(2x + y - 2 = 0\)

Gọi \(M(z)\) là tập hợp điểm \(M\) thuộc đường thẳng \((d):2x + y - 2 = 0.\)

Do đó \(\left| z \right| = OM\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow O{M_{\min }} = d\left( {O\,;\,\,\left( d \right)} \right) = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy \({\left| {\sqrt 5 z} \right|_{\min }} = \sqrt 5 {\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 5  \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = 2.\)

Đáp án: 2.